Portugal: matriz de Leontief e choques setoriais

Fonte principal: OECD Input-Output Tables (TTL, raw)

1 Introdução e objetivo

Este módulo continua a análise de matrizes de entradas-saídas iniciada no módulo 2, agora com foco no sistema de Leontief em detalhe setorial raw da OECD para Portugal.

Para estudantes de licenciatura em Introdução à Macroeconomia, a ideia central é simples: um choque num setor não afeta apenas esse setor. Como as empresas compram e vendem entre si, há efeitos em cadeia (diretos e indiretos) ao longo da rede produtiva. A matriz de Leontief é uma forma transparente de medir esses encadeamentos.

Neste contexto, vamos trabalhar com contas em valor (milhões de USD), não em quantidades físicas. Assim, cada resultado deve ser lido como um exercício de contabilidade económica e propagação setorial, útil para organizar o raciocínio macro, antes de modelos mais avançados com preços relativos, substituição e dinâmica intertemporal.

Uma nota importante sobre as linhas especiais da base OECD ttl:

• TXS_INT_FNL representa impostos líquidos de subsídios sobre produtos alocados aos usos intermédios e finais (conceito TLS no ReadMe da ICIO);
• IMP_OTHER representa outras importações (um ajustamento de importações fora das linhas setoriais TTL_*).
• B05 corresponde a extração de carvão e lenhite;
• B06 corresponde a extração de petróleo bruto e gás natural.

No ficheiro de Portugal usado no módulo, B05 e B06 não entram como setores produzidos domésticos (output não positivo), pelo que são tratados, na prática, como conteúdo importado. Por isso, construímos a cunha importada alargada IMP_OTHER_plus = IMP_OTHER + TTL_B05 + TTL_B06 e tratamos TXS e IMP_OTHER_plus como “setores fictícios” que vendem a todos os setores, mas não compram inputs intermédios, para manter a leitura económica do sistema de Leontief com dados raw.

Referência principal da fonte e documentação: OECD Inter-Country Input-Output (ICIO).

Os objetivos são:

• construir o sistema \[ x = Ax + y, \] onde as colunas de \(A\) são compradores e as linhas são vendedores;
• incluir TXS_INT_FNL e IMP_OTHER_plus como setores fictícios (TXS e IMP_OTHER_plus) que vendem a todos, mas não compram a ninguém;
• interpretar a matriz técnica \(A\) e a inversa de Leontief \((I-A)^{-1}\);
• ligar os sistemas de quantidades e preços;
• estudar dois exercícios de política de procura final:
  • choque de -1% em H51 (Air transport),
  • choque de +1% em I (Accommodation and food service activities; aqui I é código setorial, não investimento).

Em termos de leitura, o módulo segue uma sequência simples: primeiro construímos e validamos o sistema contabilístico, depois interpretamos \(A\) e \((I-A)^{-1}\), em seguida ligamos quantidades e preços e, por fim, aplicamos exercícios e add-ons para leitura macroeconómica.

Dados: OECD Input-Output Tables (TTL, raw), Portugal, ano = 2022, preços correntes; unidades: milhões de USD (fonte carregada: PRT2022ttl.csv).

2 Construção de \(x\), \(A\) e \(y\) com setores fictícios

A construção segue, exatamente, os passos:

1. setores produzidos com OUTPUT > 0;
2. matriz de vendas intermédias \(Z\) com linhas vendedores e colunas compradores;
3. extensão com TXS e IMP_OTHER_plus como vendedores fictícios;
4. matriz técnica estendida \(A_{ext}\) com colunas fictícias de compradores iguais a zero;
5. procura final líquida \(y_{ext}\) pela soma das colunas finais (incluindo IMPO, negativa).

Formalmente:

\[ x_{ext} = A_{ext}x_{ext} + y_{ext}. \]

O tratamento de TXS e IMP_OTHER_plus é importante para manter a interpretação económica correta:

• TXS (impostos líquidos sobre produtos) e IMP_OTHER_plus (outras importações + B05/B06) entram como linhas vendedoras. Isto significa que contam como custos por unidade de produção dos setores compradores.
• Ao mesmo tempo, são definidos como setores que não compram inputs intermédios no sistema (A_ext[:, "TXS"] = 0 e A_ext[:, "IMP_OTHER_plus"] = 0).
• Em termos práticos, funcionam como “cunhas” (wedges) contabilísticas: afetam custos e preços de produção, mas não criam rondas adicionais de procura intermédia como um setor produtivo convencional.

NotaNota sobre importações no modelo

IMPO entra na procura final como termo negativo (procura final líquida).
IMP_OTHER_plus = IMP_OTHER + TTL_B05 + TTL_B06 entra como setor fictício vendedor: funciona como cunha de custo importado por unidade de produção e não gera novas rondas intermédias, porque não compra inputs no sistema.

A tabela seguinte resume a dimensão do sistema que vamos usar nas secções seguintes.

Tabela 1: Dimensões principais do sistema estendido.

Objeto	Valor
Setores originais (colunas)	50
Setores produzidos (S)	48
Setores estendidos (S_ext)	50
Dimensão de A_ext	50 x 50

A tabela de verificação abaixo testa a coerência interna do sistema. A identidade \(x = Ax + y\) deve ser satisfeita (até erro numérico de arredondamento) se a construção de \(A_{ext}\), \(x_{ext}\) e \(y_{ext}\) estiver correta. Mostramos setores económicos (H51 e I) e os dois setores fictícios (TXS e IMP_OTHER_plus) para confirmar que a lógica é consistente em todos os blocos do modelo.

Tabela 2: Verificação da identidade x = Ax + y (setores selecionados).

setor	x_ext	A_ext_x_plus_y	erro
Transporte aéreo	5,564.00	5,564.00	0.001000
Alojamento e restauração	25,907.77	25,907.78	-0.009000
Impostos líquidos sobre produtos	34,230.24	34,230.24	0.001000
Outras importações + energia fóssil importada (B05/B06)	1,206.03	1,206.03	0.000000

O nível de x_ext no setor fictício IMP_OTHER_plus não deve ser lido como “total de importações” do país; é um objeto de fecho contabilístico na base raw. O que tem leitura económica direta neste módulo são as variações ΔIMP+ e as razões por unidade de choque.

3 Interpretação da matriz técnica \(A\)

Cada entrada da matriz técnica tem interpretação direta:

\[ a_{ij} = \frac{z_{ij}}{x_j}, \]

onde \(z_{ij}\) é a venda intermédia do setor vendedor \(i\) ao setor comprador \(j\) e \(x_j\) é o output bruto de \(j\).

Assim, cada elemento \(a_{ij}\) mede quantas unidades monetárias de input de \(i\) são necessárias, diretamente, para produzir 1 unidade monetária de output de \(j\).

Leituras úteis:

• Entrada diagonal a_{jj}: uso interno direto do próprio setor \(j\).
• Entrada fora da diagonal a_{ij} com i ≠ j: dependência direta de \(j\) em relação ao setor fornecedor \(i\).
• Coluna \(j\) de \(A\): vetor completo da estrutura de custos intermédios diretos do setor \(j\).

Tabela 3: Principais coeficientes técnicos diretos (a_ij) para os setores transporte aéreo e alojamento/restauração.

Setor comprador	Setor vendedor	a_ij
Transporte aéreo	Refinação de petróleo	0.3255
Transporte aéreo	Armazenagem e apoio ao transporte	0.1571
Transporte aéreo	Comércio	0.0786
Transporte aéreo	Atividades administrativas e apoio	0.0745
Transporte aéreo	Atividades financeiras e seguros	0.0339
Transporte aéreo	Mobiliário e outras indústrias	0.0277
Transporte aéreo	Atividades profissionais e científicas	0.0231
Transporte aéreo	Outro equipamento de transporte	0.0229
Transporte aéreo	Alojamento e restauração	0.0209
Transporte aéreo	Transporte aéreo	0.0146
Transporte aéreo	Impostos líquidos sobre produtos	0.0138
Transporte aéreo	Serviços informáticos e informação	0.0126
Alojamento e restauração	Alimentares, bebidas e tabaco	0.1164
Alojamento e restauração	Comércio	0.0579
Alojamento e restauração	Eletricidade, gás e vapor	0.0487
Alojamento e restauração	Impostos líquidos sobre produtos	0.0272
Alojamento e restauração	Imobiliário	0.0270
Alojamento e restauração	Atividades administrativas e apoio	0.0260
Alojamento e restauração	Agricultura e caça	0.0259
Alojamento e restauração	Atividades profissionais e científicas	0.0251
Alojamento e restauração	Atividades financeiras e seguros	0.0171
Alojamento e restauração	Construção	0.0095
Alojamento e restauração	Água, saneamento e resíduos	0.0090
Alojamento e restauração	Alojamento e restauração	0.0082

Leitura económica da tabela acima:

• Em Transporte aéreo, os maiores coeficientes diretos são Refinação de petróleo (0.3255) e Armazenagem e apoio ao transporte (0.1571).
• Em Alojamento e restauração, os maiores coeficientes diretos são Alimentares, bebidas e tabaco (0.1164) e Comércio (0.0579).

Isto ajuda a visualizar quais fornecedores pesam mais no custo intermédio direto de cada setor comprador.

4 Interpretação da inversa de Leontief \((I-A)^{-1}\)

Com

\[ x = (I-A)^{-1}y \equiv Ly, \]

cada elemento

\[ l_{ij} = \left[(I-A)^{-1}\right]_{ij} \]

tem interpretação económica precisa: é a variação total do output do setor \(i\) quando a procura final do setor \(j\) aumenta em 1 unidade monetária, mantendo fixos os coeficientes técnicos.

Uma forma útil de ver esta matriz é pela expansão em série:

\[ (I-A)^{-1} = I + A + A^2 + A^3 + \cdots \]

Se quisermos olhar apenas para os encadeamentos para além do efeito “imediato” no próprio setor, então:

\[ (I-A)^{-1} - I = A + A^2 + A^3 + \cdots \]

Isto inclui:

• efeito de 1.ª ronda (produção intermédia direta, \(A\Delta y\)),
• efeitos indiretos (rondas sucessivas, \(A^2\Delta y + A^3\Delta y + \cdots\)).

Leituras úteis:

• Entrada diagonal l_{jj}: efeito total no próprio setor após todas as rondas.
• Entrada fora da diagonal l_{ij}: transmissão intersetorial de um choque em \(j\) para o setor \(i\).
• Coluna \(j\) de \(L\): distribuição setorial completa do multiplicador de um choque em \(y_j\).

Tabela 4: Multiplicadores agregados (output total produzido) para choques em H51 e I.

Setor do choque	choque_pct	delta_y	multiplicador_output_total
Transporte aéreo	-1.00	-47.57	2.6948
Alojamento e restauração	1.00	227.15	2.0537

Os multiplicadores da tabela acima mostram que o efeito agregado no output ultrapassa o choque inicial de procura final em ambos os casos. Em termos económicos, isto reflete rondas sucessivas de produção intermédia: um aumento (ou queda) de procura num setor altera as compras a fornecedores, que por sua vez ajustam a sua própria procura de inputs.

Leitura de alguns números:

• Um choque de 1 unidade monetária na procura final de Transporte aéreo gera, em média, 2.695 unidades de variação no output total.
• Um choque de 1 unidade monetária na procura final de Alojamento e restauração gera, em média, 2.054 unidades de variação no output total.
• Na nossa calibração, os choques aplicados têm magnitude de 47.6 e 227.2 milhões USD, respetivamente, e por isso os efeitos agregados diferem também pela dimensão inicial de Δy.

Tabela 5: Principais coeficientes da inversa de Leontief (l_ij) para choques unitários em transporte aéreo e alojamento/restauração.

Setor do choque	Setor afetado	l_ij
Transporte aéreo	Transporte aéreo	1.0184
Transporte aéreo	Refinação de petróleo	0.4164
Transporte aéreo	Armazenagem e apoio ao transporte	0.2063
Transporte aéreo	Comércio	0.1681
Transporte aéreo	Atividades administrativas e apoio	0.1316
Transporte aéreo	Atividades financeiras e seguros	0.0818
Transporte aéreo	Atividades profissionais e científicas	0.0805
Transporte aéreo	Eletricidade, gás e vapor	0.0756
Transporte aéreo	Químicos	0.0499
Transporte aéreo	Serviços informáticos e informação	0.0380
Transporte aéreo	Mobiliário e outras indústrias	0.0379
Transporte aéreo	Transporte terrestre	0.0359
Alojamento e restauração	Alojamento e restauração	1.0144
Alojamento e restauração	Alimentares, bebidas e tabaco	0.1460
Alojamento e restauração	Comércio	0.1278
Alojamento e restauração	Eletricidade, gás e vapor	0.1182
Alojamento e restauração	Atividades profissionais e científicas	0.0659
Alojamento e restauração	Agricultura e caça	0.0654
Alojamento e restauração	Atividades administrativas e apoio	0.0588
Alojamento e restauração	Atividades financeiras e seguros	0.0488
Alojamento e restauração	Químicos	0.0399
Alojamento e restauração	Imobiliário	0.0385
Alojamento e restauração	Refinação de petróleo	0.0343
Alojamento e restauração	Construção	0.0278

A tabela de coeficientes da inversa de Leontief decompõe os efeitos totais por setor afetado. Quanto maior for \(l_{ij}\), maior é a sensibilidade do setor \(i\) a um choque de procura final no setor \(j\). Isto ajuda a identificar ligações produtivas particularmente fortes.

Exemplos de leitura económica:

• Entre os efeitos de propagação de um choque em Transporte aéreo, o maior coeficiente fora da diagonal é para Refinação de petróleo, com l_ij = 0.4164.
• Entre os efeitos de propagação de um choque em Alojamento e restauração, o maior coeficiente fora da diagonal é para Alimentares, bebidas e tabaco, com l_ij = 0.1460.

Isto sugere que estes setores estão relativamente mais expostos aos encadeamentos indiretos associados aos dois choques analisados.

5 Quantidades vs. preços

No bloco de quantidades, resolvemos:

\[ x = Ax + y, \]

que determina o output necessário em cada setor para acomodar a procura final \(y\).

Para preços, usamos a versão dual do problema: em vez de acompanhar fluxos de quantidades, acompanhamos custos unitários. Para cada setor produzido \(i \in S\):

\[ p_i = \sum_{j \in S} a_{ji}p_j + a_{\text{TXS},i}p_{\text{TXS}} + a_{\text{IMP\_OTHER\_plus},i}p_{\text{IMP\_OTHER\_plus}} + v_i, \]

onde:

• \(v_i \equiv VA_i/x_i\) é o valor acrescentado por unidade de output;
• \(a_{\text{TXS},i}\) e \(a_{\text{IMP\_OTHER\_plus},i}\) são as cargas diretas das duas cunhas no setor \(i\);
• \(p_{\text{TXS}}\) e \(p_{\text{IMP\_OTHER\_plus}}\) são preços exógenos dessas cunhas.

Empilhando para todos os setores produzidos:

\[ p_S = A_{SS}^{\top}p_S + A_{WS}^{\top}p_W + v_S, \]

com \(p_W \equiv (p_{\text{TXS}}, p_{\text{IMP\_OTHER\_plus}})^\top\) e \(v_S \equiv (VA_i/x_i)_{i \in S}\).

Rearranjando:

\[ (I - A_{SS}^{\top})p_S = v_S + A_{WS}^{\top}p_W, \]

e, quando a inversa existe,

\[ p_S = (I - A_{SS}^{\top})^{-1}(v_S + A_{WS}^{\top}p_W). \]

Definimos o índice implícito de custos por setor sob a normalização \(p_{\text{TXS}} = p_{\text{IMP\_OTHER\_plus}} = 1\):

\[ p_{\text{TXS}} = p_{\text{IMP\_OTHER\_plus}} = 1 \quad \Longrightarrow \quad \hat p_S \equiv (I - A_{SS}^{\top})^{-1}(v_S + A_{WS}^{\top}\mathbf{1}), \]

isto é, para cada setor \(i\):

\[ \hat p_i = \left[(I - A_{SS}^{\top})^{-1}(v_S + A_{WS}^{\top}\mathbf{1})\right]_i. \]

Esta normalização tem uma interpretação contabilística direta. Para cada setor comprador \(i\):

\[ x_i = \sum_{j \in S} x_{ji} + VA_i + W_i, \]

onde \(x_i \equiv p_i q_i\), \(x_{ji} \equiv p_j q_{ji}\) e \(W_i\) agrega as duas cunhas (TXS e IMP_OTHER_plus).

Dividindo por \(x_i\):

\[ 1 = \sum_{j \in S}\frac{x_{ji}}{x_i} + \frac{VA_i}{x_i} + \frac{W_i}{x_i} \equiv \sum_{j \in S} a_{ji} + v_i + w_i. \]

Empilhando:

\[ \mathbf{1} = A_{SS}^{\top}\mathbf{1} + v_S + A_{WS}^{\top}\mathbf{1} \quad \Longleftrightarrow \quad (I - A_{SS}^{\top})\mathbf{1} = v_S + A_{WS}^{\top}\mathbf{1}. \]

Comparando com a definição de \(\hat p_S\), segue que \(\hat p_S = \mathbf{1}\) é a solução natural quando o fecho contabilístico é exato. Na prática, pequenas diferenças face a 1 podem surgir por arredondamentos e imperfeições de medição nos dados.

Por isso, nesta base de dados, a leitura económica mais útil não é o nível de \(\hat p_i\), mas sim a resposta de \(\hat p_i\) a choques de custo exógenos.

5.1 Exercício de preços: choque de +1% em p_IMP_OTHER_plus

Para medir propagação de custos na rede, consideramos:

\[ \Delta p_W = (\Delta p_{\text{TXS}}, \Delta p_{\text{IMP\_OTHER\_plus}})^\top = (0,\ 0.01)^\top. \]

Com tecnologia fixa, o impacto total nos índices setoriais é:

\[ \Delta \hat p_S = (I - A_{SS}^{\top})^{-1}A_{WS}^{\top}\Delta p_W. \]

Para cada setor \(i\), reportamos a variação percentual relativa ao índice base:

\[ \%\Delta \hat p_i \equiv 100 \times \frac{\Delta \hat p_i}{\hat p_i}. \]

Como usamos \((I-A_{SS}^{\top})^{-1}\), este efeito já inclui rondas diretas e indiretas de transmissão na rede.

Tabela 6: Choque de +1% em p_IMP_OTHER_plus: 5 maiores e 5 menores variações percentuais de p_hat.

Grupo	Setor	Δp_hat / p_hat (%)
Top 5	Refinação de petróleo (C19)	0.6779
Top 5	Eletricidade, gás e vapor (D)	0.3387
Top 5	Transporte aéreo (H51)	0.2512
Top 5	Transporte marítimo (H50)	0.1881
Top 5	Químicos (C20)	0.1598
Bottom 5	Serviços domésticos das famílias (T)	0.0000
Bottom 5	Imobiliário (L)	0.0085
Bottom 5	Educação (P)	0.0127
Bottom 5	Atividades financeiras e seguros (K)	0.0135
Bottom 5	Serviços informáticos e informação (J62_63)	0.0162

Leitura económica do exercício de preços:

• O setor mais sensível ao aumento de custo importado é Refinação de petróleo (C19), com Δp_hat/p_hat = 0.6779%.
• O segundo mais sensível é Eletricidade, gás e vapor (D), com 0.3387%.
• Entre os menos sensíveis, temos Serviços domésticos das famílias (T) (0.0000%) e Imobiliário (L) (0.0085%).
• Estas diferenças refletem heterogeneidade na exposição direta e indireta de cada setor ao conteúdo importado capturado por IMP_OTHER_plus.

6 Exercícios: choques em transporte aéreo e alojamento/restauração

Depois do exercício de preços, voltamos ao bloco de quantidades e aplicamos dois choques simples de procura final para ilustrar como a rede input-output propaga efeitos entre setores.

Para cada cenário, definimos um vetor de choque \(\Delta y\) (com apenas um setor chocado) e calculamos:

\[ \Delta x = L_{ext}\Delta y = (I-A_{ext})^{-1}\Delta y = \Delta y + (A_{ext} + A_{ext}^2 + A_{ext}^3 + \cdots)\Delta y. \]

Assim, os resultados apresentados nas figuras são efeitos totais sobre o output setorial (\(\Delta x\)), isto é, incluem:

• efeito inicial (o próprio choque em procura final, \(\Delta y\));
• efeito de 1.ª ronda e efeitos indiretos subsequentes (propagação pela rede intermédia, \(\Delta x - \Delta y\)).

Tabela 7: Montantes dos choques e grandezas de referência nos dois setores analisados.

Setor	Output bruto x (10^6USD)	Procura final y (10^6USD)	Valor acrescentado VA (10^6USD)	Choque (%)	Choque em procura final Δy (10^6USD)
Transporte aéreo (H51)	5,564.00	4,757.12	668.14	-1.00	-47.57
Alojamento e restauração (I)	25,907.77	22,715.49	13,548.95	1.00	227.15

Leitura económica da tabela acima:

• Em Transporte aéreo (H51), o output bruto é 5,564.0 milhões USD, a procura final líquida é 4,757.1 milhões USD e o valor acrescentado é 668.1 milhões USD; o choque aplicado é Δy = -47.6 milhões USD.
• Em Alojamento e restauração (I), o output bruto é 25,907.8 milhões USD, a procura final líquida é 22,715.5 milhões USD e o valor acrescentado é 13,549.0 milhões USD; o choque aplicado é Δy = 227.2 milhões USD.
• Como os choques têm montantes absolutos diferentes, a comparação dos impactos nas figuras deve considerar não só os multiplicadores, mas também a escala inicial de cada \(\Delta y\).

6.1 Cenário 1: choque de -1% na procura final de transporte aéreo

Figura 1: Cenário 1 (transporte aéreo): impactos no output (top 15 setores).

Leitura económica da figura do cenário 1:

• A figura mostra efeitos totais (\(\Delta x\)), calculados por \(\Delta x = (I-A_{ext})^{-1}\Delta y\), e não apenas a componente inicial.
• No setor de origem (Transporte aéreo), o efeito inicial é Δy = -47.6 milhões USD e a componente indireta adicional é -0.9 milhões USD.
• O maior efeito indireto (excluindo o setor de origem) ocorre em Refinação de petróleo, com Δx = -19.8 milhões USD.
• No agregado dos setores produzidos, o efeito total é -128.2 milhões USD, dos quais -80.6 milhões USD resultam de propagação indireta na rede.
• Entre os 49 setores restantes (excluindo o setor de origem), observam-se 48 impactos negativos, 0 positivos e 1 nulos. As magnitudes dos efeitos são heterogéneas entre setores.

6.2 Cenário 2: choque de +1% na procura final de alojamento e restauração

Figura 2: Cenário 2 (alojamento e restauração): impactos no output (top 15 setores).

Leitura económica da figura do cenário 2:

• A figura mostra efeitos totais (\(\Delta x\)), calculados por \(\Delta x = (I-A_{ext})^{-1}\Delta y\), e não apenas a componente inicial.
• No setor de origem (Alojamento e restauração), o efeito inicial é Δy = 227.2 milhões USD e a componente indireta adicional é 3.3 milhões USD.
• O maior efeito indireto (excluindo o setor de origem) surge em Alimentares, bebidas e tabaco, com Δx = 33.2 milhões USD.
• No agregado dos setores produzidos, o efeito total é 466.5 milhões USD, dos quais 239.4 milhões USD resultam de propagação indireta na rede.
• Entre os 49 setores restantes (excluindo o setor de origem), observam-se 48 impactos positivos, 0 negativos e 1 nulos. As magnitudes distribuem-se de forma desigual ao longo da cadeia produtiva.

7 Add-ons macroeconómicos

Nesta secção complementamos os resultados-base com leituras mais próximas da linguagem macroeconómica usada em aulas introdutórias.

A ideia é separar três perguntas diferentes:

1. quanto output bruto total é ativado por um choque de procura final;
2. quanto desse efeito se traduz em valor acrescentado doméstico;
3. quais setores funcionam como “nós” centrais de propagação na rede.

7.1 Multiplicador de valor acrescentado (VA) vs. multiplicador de output

No modelo de Leontief, o primeiro passo é sempre obter o efeito total em produção:

\[ \Delta x = (I-A)^{-1}\Delta y. \]

Este \(\Delta x\) mede produção bruta (gross output). Em contabilidade nacional, produção bruta não é o mesmo que contribuição para rendimento, porque inclui consumo intermédio entre setores.

Para aproximar a componente de rendimento doméstico, usamos os coeficientes de VA por unidade de output:

\[ \Delta VA \approx \sum_{i \in S} v_i \Delta x_i, \qquad v_i = \frac{VA_i}{x_i}, \]

e definimos dois multiplicadores para o choque no setor \(j\):

\[ m_{X,j} = \frac{\sum_{i \in S}\Delta x_i}{\Delta y_j}, \qquad m_{VA,j} = \frac{\sum_{i \in S} v_i\Delta x_i}{\Delta y_j}. \]

Leitura pedagógica:

• \(m_X\) responde “quanto output total a economia produz por 1 unidade de choque final”;
• \(m_{VA}\) responde “quanto valor acrescentado doméstico é gerado por 1 unidade de choque final”.

Tabela 8: Comparação entre multiplicadores de output e de valor acrescentado (VA).

Setor do choque	Choque (%)	Δy (10^6USD)	ΣΔx (10^6USD)	ΔVA (10^6USD)	Multiplicador de output	Multiplicador de VA
Transporte aéreo (H51)	-1.00	-47.57	-128.19	-33.44	2.6948	0.7030
Alojamento e restauração (I)	1.00	227.15	466.51	206.94	2.0537	0.9110

Leitura económica da tabela acima:

• Em Transporte aéreo, \(m_X = 2.695\) e \(m_{VA} = 0.703\); a diferença é 1.992.
• Em Alojamento e restauração, \(m_X = 2.054\) e \(m_{VA} = 0.911\); a diferença é 1.143.
• O hiato \(m_X - m_{VA}\) capta a parcela do efeito total que permanece em fluxos intermédios entre setores (não em VA).
• Em aula, esta distinção ajuda a evitar a leitura incorreta de multiplicador de produção bruta como “multiplicador de PIB”.

7.2 Decomposição: VA doméstico, cunha fiscal (TXS) e fuga importada (IMP_OTHER_plus)

Nesta decomposição, os fluxos monetários (\(\Delta VA\), \(\Delta x_{TXS}\) e \(\Delta x_{IMP\_OTHER\_plus}\)) estão em milhões de USD.
As razões por unidade de choque (\(\Delta x_{TXS}/\Delta y\) e \(\Delta x_{IMP\_OTHER\_plus}/\Delta y\)) são adimensionais e ajudam a comparar setores com escalas diferentes.

Tabela 9: Decomposição dos efeitos dos choques: VA, TXS e IMP_OTHER_plus.

Setor	Tipo	Choque (%)	ΔVA (10^6USD)	ΔTXS (10^6USD)	ΔIMP+ (10^6USD)	ΔVA / ΣΔx	ΔTXS / Δy	ΔIMP+ / Δy
Transporte aéreo (H51)	Base	-1	-33.4	-2.2	-11.9	0.261	0.046	0.251
Alojamento e restauração (I)	Base	+1	206.9	11.2	9.1	0.444	0.049	0.040
Transporte terrestre (H49)	Alto TXS	+1	41.6	6.3	6.0	0.375	0.116	0.111
Refinação de petróleo (C19)	Alto IMP+	+1	6.3	0.4	14.1	0.170	0.020	0.678

Leitura económica da tabela acima:

• As duas primeiras linhas mantêm os cenários-base (choques em Transporte aéreo e Alojamento e restauração), para facilitar comparação com as secções anteriores.
• A linha com critério de alta razão Δx_TXS/Δy destaca Transporte terrestre, com valor 0.116 para um choque de +1%.
• A linha com critério de alta razão Δx_IMP_OTHER_plus/Δy destaca Refinação de petróleo, com valor 0.678 para um choque de +1%.
• Em termos económicos: Δx_TXS/Δy alto indica maior transmissão para a cunha fiscal sobre produtos; Δx_IMP_OTHER_plus/Δy alto indica maior sensibilidade a conteúdo importado “extra-setorial”.
• Nos cenários-base, Δx_IMP_OTHER_plus/Δy = 0.251 em Transporte aéreo e 0.040 em Alojamento e restauração.

7.3 Setores-chave: encadeamentos backward e forward

Definimos:

\[ \text{Backward}_j = \sum_i l_{ij}, \qquad \text{Forward}_i = \sum_j l_{ij}, \]

onde \(l_{ij}\) são os elementos da matriz inversa de Leontief sobre setores produzidos.

Interpretação prática:

• Backward linkage de \(j\): \[ \text{Backward}_j = \sum_i l_{ij} = \sum_i \frac{\partial x_i}{\partial y_j}. \] É a variação do output total da economia \(\sum_i \Delta x_i\) quando aplicamos um choque unitário em procura final no setor \(j\) (isto é, \(\Delta y_j=1\) e \(\Delta y_{k\neq j}=0\)).
• Forward linkage de \(i\): \[ \text{Forward}_i = \sum_j l_{ij} = \sum_j \frac{\partial x_i}{\partial y_j}. \] É a variação do output do setor \(i\) quando todas as componentes da procura final recebem choques unitários e somamos esses efeitos (equivalentemente, quando \(\Delta y=\mathbf{1}\), então \(\Delta x_i=\text{Forward}_i\)).

Em linguagem de política:

• setores com backward alto tendem a ser candidatos a maior “efeito multiplicador de procura”;
• setores com forward alto tendem a ser pontos críticos para gestão de choques de custos/oferta.

Tabela 10: Top 10 setores por backward linkage (soma por coluna de L).

Setor	backward_linkage
Veículos automóveis (C29)	3.2115
Metais ferrosos (C24A)	3.1383
Metais não ferrosos (C24B)	3.0237
Eletrónica e informática (C26)	3.0228
Químicos (C20)	2.9840
Equipamento elétrico (C27)	2.9102
Outro equipamento de transporte (C302T309)	2.9074
Alimentares, bebidas e tabaco (C10T12)	2.8911
Eletricidade, gás e vapor (D)	2.8473
Papel e impressão (C17_18)	2.8212

Tabela 11: Top 10 setores por forward linkage (soma por linha de L).

Setor	forward_linkage
Comércio (G)	8.2807
Eletricidade, gás e vapor (D)	6.6334
Químicos (C20)	4.8874
Atividades profissionais e científicas (M)	4.8806
Refinação de petróleo (C19)	4.5231
Atividades administrativas e apoio (N)	4.4676
Atividades financeiras e seguros (K)	3.9187
Produtos metálicos (C25)	3.1112
Metais ferrosos (C24A)	3.1072
Armazenagem e apoio ao transporte (H52)	2.8635

Leitura económica das tabelas acima:

• O maior backward linkage é de Veículos automóveis (C29) (3.211), seguido de Metais ferrosos (C24A) (3.138).
• O maior forward linkage é de Comércio (G) (8.281), seguido de Eletricidade, gás e vapor (D) (6.633).
• Para leitura didática: o ranking backward ajuda a discutir estímulos de procura; o ranking forward ajuda a discutir vulnerabilidade a estrangulamentos na oferta.

7.4 Sandbox interativo (setor, tamanho e unidade do choque)

Use o sandbox abaixo para simular choques de procura final com três escolhas:

1. setor do choque (campo pesquisável);
2. tamanho do choque;
3. unidade do choque (% de y do setor ou valor absoluto em Milhões USD).

Depois de selecionar os inputs, o painel devolve os impactos no output setorial (top 15) e um resumo macro dos efeitos totais.

Figura 3

Leitura económica do sandbox:

• O cálculo é sempre \(\Delta x = (I-A)^{-1}\Delta y\): os resultados incluem efeito inicial e propagação em rede.
• Se escolher a unidade % de y, o sandbox converte automaticamente o valor em choque absoluto de procura final para o setor selecionado.
• Se escolher Milhões USD, o choque entra diretamente como \(\Delta y\) absoluto.
• O quadro-resumo mostra, para o mesmo choque, produção total, valor acrescentado e decomposição para TXS e IMP_OTHER_plus, o que ajuda a comparar setores com maior transmissão fiscal/importada.

8 Limitações

• A análise é estática e de curto prazo: os coeficientes técnicos são fixos.
• Não há substituição entre inputs, restrições de capacidade nem respostas comportamentais.
• Os choques são exercícios contábeis de propagação na rede produtiva, não previsões estruturais completas.

9 Conclusão

A matriz técnica e a inversa de Leontief fornecem uma forma transparente de ligar choques de procura final a efeitos totais na produção setorial. Para ensino introdutório, os exercícios em transporte aéreo e alojamento/restauração ajudam a visualizar encadeamentos produtivos e a diferença entre efeito inicial e propagação indireta.

Leitura numérica dos resultados principais:

• O choque de -1% na procura final de Transporte aéreo corresponde a Δy = -47.6 milhões USD e implica uma variação total no output de -128.2 milhões USD (multiplicador agregado 2.695).
• O choque de +1% na procura final de Alojamento e restauração corresponde a Δy = 227.2 milhões USD e implica uma variação total no output de 466.5 milhões USD (multiplicador agregado 2.054).
• No cenário de transporte aéreo, o maior efeito de propagação (excluindo o próprio setor) surge em Refinação de petróleo, com Δx = -19.8 milhões USD.
• No cenário de alojamento/restauração, o maior efeito de propagação (excluindo o próprio setor) surge em Alimentares, bebidas e tabaco, com Δx = 33.2 milhões USD.

Estes números reforçam a intuição económica: mesmo choques concentrados num único setor geram efeitos distribuídos por vários setores devido às ligações de input-output.